Mikä on numeron teho

• Syistä

Huomaa, että tässä osassa käsitellään tutkinnon käsitettä vain luonnollisella indikaattorilla ja nolla.

Kurssien käsite ja ominaisuudet rationaalisilla eksponenteilla (negatiivisella ja murto-osalla) käsitellään luokkaan 8 kuuluvissa opetuksissa.

Joten, ymmärretään, mikä on numeron voima. Jos haluat itse tallentaa numeron itse tuotteeseen useita kertoja, käytä lyhennettyä merkintää.

Kuuden identtisen tekijän 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 tuotannon sijaan he kirjoittavat 4 6 ja sanovat "neljästä kuudennen asteen".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Ilmausta 4 6 kutsutaan numeron voimaksi, jossa:

• 4 - tutkinnon perusta;
• 6 - eksponentti.

Yleensä asteen "a" ja indeksin "n" aste on kirjoitettu ilmaisulla:

Numero "a", jonka luonnollinen indeksi "n" on suurempi kuin 1, on "n": n yhtäläisten tekijöiden tulos, joista kukin on yhtä suuri kuin numero "a".

Merkintä "a n" luetaan näin: "mutta n: n tehoon" tai "numeron a n. Tehoon".

Poikkeukset ovat tietueita:

• a 2 - se voidaan lausua "neliönä";
• a 3 - se voidaan lausua "kuutiossa".

Edellä esitetyt lausekkeet voidaan tietysti lukea asteen määrittämiseksi:

• a 2 - ”ja toisessa asteessa”;
• 3 - "ja kolmannen asteen."

Erityistapauksia esiintyy, kun eksponentti on yksi tai nolla (n = 1; n = 0).

Numero "a" indeksillä n = 1 on numero itse:
a 1 = a

Mikä tahansa numero nolla-asteessa on yksi.
a 0 = 1

Zero luonnollisessa määrin on nolla.
0 n = 0

Yksikkö missä tahansa määrin on 1.
1 n = 1

Ilmaisua 0 0 (nolla nollaan) pidetään merkityksettömänä.

Esimerkkejä ratkaistessaan on muistettava, että voiman nostamista kutsutaan numeerisen tai aakkosellisen arvon löytämiseksi sen nostamisen jälkeen valtaan.

Esimerkki. Nosta asteeseen.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Negatiivisen luvun nostaminen

Tutkinnon perusta (luku, joka nostetaan tehoon) voi olla mikä tahansa luku - positiivinen, negatiivinen tai nolla.

Kun nostetaan positiivisen luvun tehoon, saadaan positiivinen luku.

Kun luodaan nolla-luonnollinen aste, saadaan nolla.

Kun nostat negatiivista määrää tehoon, tulos voi olla joko positiivinen numero tai negatiivinen luku. Se riippuu siitä, onko eksponentti pariton vai pariton.

Harkitse esimerkkejä negatiivisten lukujen tehosta.

Tarkasteltavista esimerkeistä on selvää, että jos negatiivinen luku nousee parittaiselle asteelle, saadaan negatiivinen luku. Koska pariton negatiivisten tekijöiden määrä on negatiivinen.

Jos negatiivinen luku nostetaan tasaiseksi tehoksi, saadaan positiivinen luku. Koska parillisten negatiivisten tekijöiden määrä on positiivinen.

Negatiivinen luku tasaiselle teholle on positiivinen luku.

Negatiivinen luku, joka on nostettu parittaiselle teholle, on negatiivinen luku.

Minkä tahansa numeron neliö on positiivinen numero tai nolla, eli:

a 2 ≥ 0 mihin tahansa a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Kiinnitä huomiota!

Ratkaisemalla esimerkkejä eksponentioinnista he usein tekevät virheitä, unohtamatta, että merkinnät (−5) 4 ja −5 4 ovat erilaisia ​​ilmaisuja. Näiden ilmaisujen eksponentioinnin tulokset ovat erilaisia.

Laskettaessa (−5) 4 tarkoittaa negatiivisen luvun neljännen tehon arvoa.

Vaikka "−5 4" -arvo tarkoittaa, että esimerkki on ratkaistava kahdessa vaiheessa:

1. Nosta neljänteen tehoon positiivinen luku 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Laita miinusmerkki tuloksen eteen (eli tee vähennystoiminto).
   −5 4 = −625

Esimerkki. Laske: −6 2 - (−1) 4

1. 6 2 = 6,6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. - (- 1) 4 = −1
5. −36 - 1 = −37

Menetelmä esimerkeissä asteilla

Arvon laskemista kutsutaan eksponentiointitoimeksi. Tämä on kolmannen vaiheen toiminta.

Ilmaisuissa, joissa on valtuuksia, jotka eivät sisällä sulkeita, ne suorittavat ensin tehon, sitten kertovat ja jakavat, ja lopussa lisäävät ja vähentävät.

Jos lausekkeessa on sulkeja, sitten ensin edellä mainitussa järjestyksessä, suorita toiminnot suluissa ja sitten loput toimet samassa järjestyksessä vasemmalta oikealle.

Esimerkkien ratkaisun helpottamiseksi on hyödyllistä tietää ja käyttää tutkintotaulukkoa, jonka voit ladata ilmaiseksi verkkosivuiltamme.

Voit tarkistaa tuloksiasi verkkosivuillamme online-tutkinnon keräämislaskurilla.

Lukumäärä: määritelmät, nimitys, esimerkit.

Tässä artikkelissa ymmärrämme, mikä on numeron aste. Tässä annamme määritelmän numeron määristä, jossa tarkastellaan yksityiskohtaisesti kaikkia tutkinnon mahdollisia indikaattoreita, alkaen luonnollisesta indikaattorista ja päättyen irrationaaliseen. Materiaalissa löydät paljon esimerkkejä tutkinnoista, jotka kattavat kaikki esiin tulevat hienovaraisuudet.

Siirry sivulle.

Tutkinto luonnollisella indikaattorilla, neliön neliö, numerokuutio

Ensinnäkin annamme määritelmän luonnollisen indeksin numeroista. Tulevaisuudessa sanomme, että a: n määrittely luonnollisella indeksillä n annetaan reaaliluvulle a, jonka kutsumme asteen pohjaksi, ja luonnollisen numeron n, jota kutsumme eksponentiksi. Huomaa myös, että luonnollinen indeksi määritetään tuotteen avulla, jotta alla oleva materiaali ymmärrettäisiin, sinun täytyy olla käsitys numeroiden kertomisesta.

A: n aste luonnollisella indeksillä n on muodon a n ilmentymä, jonka arvo on yhtä suuri kuin n tekijöiden tuote, joista kukin on yhtä suuri kuin a, eli.
Erityisesti a: n aste 1: llä on numero a, eli a 1 = a.

Tässä määritelmässä on selvää, että luonnollisen indeksiin perustuvan tutkinnon avulla voidaan kirjata useita samanlaisia ​​tekijöitä. Esimerkiksi 8 8 8 8 8 voidaan kirjoittaa asteikoksi 8 4. Tämä on analoginen siihen, miten identtisten termien summa kirjoitetaan teoksen avulla, esimerkiksi 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (ks. Artikkelin yleinen käsitys luonnollisten lukujen kertomisesta).

Välittömästi pitäisi sanoa lukutaidon säännöt. Yleinen tapa lukea n-tietue on: "a n: n tehoon". Joissakin tapauksissa tällaiset variantit ovat myös sallittuja: "a n: nnelle asteelle" ja "n: nnen voimalle". Esimerkiksi asteikolla 8 12 tämä on "kahdeksan kaksitoista", tai "kahdeksan kahdestoistaosaan", tai "kahdeksannentoista voima kahdeksan".

Numeron toisella asteella ja numeron kolmannella asteella on omat nimensä. Numeron toista voimaa kutsutaan numeron neliöksi, esimerkiksi 7 2 lukee "seitsemän neliön" tai "seitsemän neliön". Numeron kolmatta tehoa kutsutaan numeron kuutioiksi, esimerkiksi 5 3 voidaan lukea "viideksi kuutiossa" tai sanoa "kuutio numerosta 5".

On aika antaa esimerkkejä asteista luonnollisilla indikaattoreilla. Aloitetaan asteesta 5 7, tässä 5 on asteen perusta, ja 7 on eksponentti. Anna toinen esimerkki: 4.32: n desimaalifraktio on emäs ja positiivinen kokonaisluku 9 on eksponentti (4.32) 9.

Huomaa, että viimeisessä esimerkissä asteen 4.32 pohja on kirjoitettu suluissa: poikkeamien välttämiseksi otamme kaikki asteen perusteet suluissa, jotka eroavat luonnollisista numeroista. Esimerkiksi luonnollisilla indikaattoreilla annamme seuraavat asteikot, niiden perusteet eivät ole luonnollisia lukuja, joten ne on kirjoitettu suluissa. No, selkeyden vuoksi tässä vaiheessa näytämme eron, joka on lomakkeen (−2) 3 ja −2 3 tietueissa. Ilmaus (−2) 3 on negatiivisen luvun −2 taso luonnollisella indeksillä 3, ja ilmaisu −2 3 (se voidaan kirjoittaa kuten - (2 3)) vastaa asteen 2 3 vastakohtaista numeroa.

Huomaa, että lomakkeen a ^ n indeksillä n on merkintä. Lisäksi jos n on moniarvoinen positiivinen kokonaisluku, niin eksponentti otetaan suluissa. Esimerkiksi 4 ^ 9 on toinen asteen 4 9 merkintä. Seuraavassa on muutamia esimerkkejä tallennusasteista ”^” -symbolilla: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Seuraavassa käytämme pääasiassa muodon a n merkintää.

Edellä oleva määritelmä mahdollistaa tutkinnon arvon löytämisen luonnollisella indikaattorilla. Voit tehdä tämän laskemalla n: n yhtä suurta tekijää vastaavan tuotteen. Tämä aihe ansaitsee yksityiskohtaisen tarkastelun erillisessä artikkelissa - katso eksponentiointia luonnollisella indikaattorilla.

Yksi tehtävistä, rakenteeltaan käänteinen, luonnollinen indikaattori, on ongelma, jolla tutkinto on löydetty tutkinnon tunnetulla arvolla ja tunnetulla indikaattorilla. Tämä tehtävä johtaa juuren käsitteeseen numerosta.

On myös syytä tutkia luonnollisen indeksin omaavan asteen ominaisuuksia, jotka johtuvat kertomuksen asteen ja ominaisuuksien määrittelystä.

Tutkinto kokonaisluvulla

Kun olemme määrittäneet a: n asteen luonnollisella indeksillä, syntyy looginen halu laajentaa asteen käsitettä ja siirtyä numeron asteeseen, josta mikä tahansa kokonaisluku, mukaan lukien negatiivinen ja nolla, on indikaattori. Tämä olisi tehtävä siten, että kaikki luonnollisen indeksin asteen ominaisuudet pysyvät voimassa, koska luonnolliset luvut ovat osa kokonaislukuja.

A-aste, jossa on positiivinen kokonaisluku, ei ole mitään muuta kuin a: n teho luonnollisella eksponentilla :, jossa n on positiivinen kokonaisluku.

Nyt määritellään nolla-teho a. Siirrymme osittaisten voimien omaisuudesta samoilla perusteilla: luonnollisille numeroille m ja n, m m: a n = a m - n (ehto 0, on muuten tarpeen, koska muuten meillä olisi jako nolla). M = n: lle kirjoitettu tasa-arvo johtaa seuraavaan tulokseen: a n: a n = a n - n = a 0. Mutta toisaalta a n: a n = 1 yhtä suurina numeroina n n ja n. Siksi meidän on hyväksyttävä 0 = 1 jokaiselle nolla-reaaliluvulle a.

Mutta mitä nollasta nollaan? Edellisessä kohdassa käytetty lähestymistapa ei sovellu tähän tapaukseen. Voimme muistaa asteikon tuotteen ominaisuuden samalla pohjalla a m · a n = a m + n, erityisesti kun n = 0, meillä on m · a 0 = a m (tämä tasa-arvo osoittaa myös, että a 0 = 1). Kuitenkin a = 0 saamme tasa-arvon 0 m · 0 0 = 0 m, joka voidaan kirjoittaa uudelleen kuin 0 = 0, se pätee mihin tahansa luonnolliseen m, riippumatta siitä, mitä lausekkeen 0 0 arvo on. Toisin sanoen 0 0 voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa numero. Tämän epäselvyyden välttämiseksi emme määritä nollaa nolla-voimaan mihinkään merkitykseen (samoista syistä jakautumista tutkittaessa emme antaneet merkitystä ilmaisulle 0: 0).

On helppo tarkistaa, että tasa-arvo a 0 = 1 ei-nolla numeroille a on yhdenmukainen asteen asteen (a m) n = a m · n ominaisuuden kanssa. Itse asiassa n = 0: lla on (a m) 0 = 1 ja a m0 = a 0 = 1, ja m = 0: lla on (a 0) n = 1 n = 1 ja a 0 · n = a 0 = 1.

Joten tulimme määrittelemään asteen, jossa oli nollaindikaattori. A, jossa on nolla eksponentti (ei-nolla reaaliluku), on yksi, eli a 0 = 1 a ≠ 0: lle.

Anna esimerkkejä: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 ja 0 0 ei ole määritelty.

Numeron a nolla-aste määritetään, on edelleen määritettävä luvun a kokonaisluku negatiivinen aste. Tämä auttaa meitä kaikkia saman asteen ominaisuuksia, joilla on samat emäkset a m · a n = a m + n. Otamme m = −n, joka vaatii ehdon a ≠ 0, sitten −n · a n = a −n + n = a 0 = 1, mistä päätellään, että n ja a -n ovat keskenään käänteisiä numeroita. Siten on loogista määritellä luku a kokonaisluvun negatiiviseksi asteikoksi −n fraktioksi. On helppo tarkistaa, että tällaisella tehtävällä ei-nolla-numeron a ja negatiivisen kokonaisluvun aste pysyy voimassa kaikilla luonnollisen indeksin tutkinnon ominaisuuksilla (ks. Asteet, joilla on kokonaislukuindeksi), mitä halusimme

Äänestämme tutkinnon määritelmän, jossa on koko negatiivinen indeksi. A: n aste, jossa on negatiivinen kokonaisluku −n (ei-nolla-reaaliluku), on murto-osa, eli ≠ 0 ja positiivinen kokonaisluku n.

Tarkastellaan tätä määritelmää, jolla on negatiivinen kokonaisluku tietyissä esimerkeissä.

Yhteenveto tämän kohteen tiedoista.

A: n aste kokonaisluvulla z määritellään seuraavasti:

Tutkinto ja järkevä indikaattori

Numeron a kokonaisluku-eksponenteista siirtyminen rationaaliseen indikaattoriin viittaa itseensä. Alla määritellään tutkinto rationaalisella indikaattorilla, ja teemme sen siten, että kaikki tutkinnon ominaisuudet koko indikaattorilla säilyvät. Tämä on välttämätöntä, koska kokonaisluvut ovat osa järkeviä numeroita.

Tiedetään, että rationaalisten numeroiden joukko koostuu kokonaisluvuista ja murto-osuuksista, ja jokainen murto-osa voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena tavallisena fraktiona. Määritimme asteen kokonaisluvun eksponentilla edellisessä kappaleessa, joten eksponentin määritelmän täydentämiseksi rationaalisella eksponentilla meidän on annettava merkitys a: n asteelle, jossa on jakeellinen eksponentti m / n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen. Tehdään se.

Harkitse tutkintoa, jossa on murto-eksponentti. Jotta taso voi olla jonkin verran, tasa-arvo on täytettävä. Jos otamme huomioon saadun tasa-arvon ja miten määrimme n: n asteen juuren, on loogista hyväksyä, edellyttäen, että annetulle m: lle, n: lle ja a: lle, ilmaisulla on järkeä.

On helppo tarkistaa, että kaikki asteen ominaisuudet, joiden kokonaislukumittari ovat, ovat päteviä (tämä tehdään luvussa, jossa on tutkinnon ominaisuudet rationaalisella indikaattorilla).

Yllä oleva perustelu antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavat johtopäätökset: jos tietyn m: n, n: n ja a: n osalta ilmaisulla on järkeä, niin a: n aste, jossa on murtoindeksi m / n, on n: nnen asteen juuresta a: sta asteeseen m.

Tämä lausunto tuo meidät tiukan tutkinnon määrittelyyn, jossa on murto-eksponentti. Se on vain kirjoitus, jolle m, n ja a on järkeä. M: lle, n: lle ja a: lle asetetuista rajoituksista riippuen on olemassa kaksi perusmenetelmää.

On helpoin asettaa rajoitus a: lle, kun a = 0 positiiviselle m: lle ja a> 0 negatiiviselle m: lle (koska m ≤ 0, astetta 0 m ei ole määritelty). Sitten saamme seuraavan asteen määritelmän murto-eksponentilla.

Positiivisen luvun a, jolla on murtoindeksi m / n, jossa m on kokonaisluku ja n on positiivinen kokonaisluku, kutsutaan n: n juureksi m: n tehoon, eli.

Nollan murtoaste määritetään myös ainoalla varauksella, että indikaattorin pitäisi olla positiivinen.

Nollapiste, jossa on jakeellinen positiivinen indeksi m / n, jossa m on positiivinen kokonaisluku ja n on positiivinen kokonaisluku, määritellään seuraavasti:.
Kun astetta ei ole määritetty, toisin sanoen numeron nolla-aste ei ole järkevää.

On syytä huomata, että tällaisella määrittelyllä, jolla on murto-eksponentti, on yksi vivahteisto: jonkin negatiivisen a: n ja joidenkin m: n ja n: n osalta ilmaisulla on järkeä, ja olemme hylänneet nämä tapaukset syöttämällä tilan a≥0. Esimerkiksi on järkevää kirjoittaa tai, ja edellä esitetty määritelmä antaa meille sanoa, että asteet, joilla on murto-indeksi, eivät ole järkeviä, koska perusta ei saisi olla negatiivinen.

Toinen lähestymistapa, jolla määritetään asteikko m / n: n murto-osuudella, on tarkastella parillisia ja parittomia juureindeksejä erikseen. Tämä lähestymistapa vaatii lisäedellytyksen: luvun a aste, jonka indikaattori on pienentynyt fraktio, katsotaan luvun a asteeksi, jonka indikaattori on vastaava irredukoitava fraktio (selitämme tämän tilan merkityksen juuri alla). Toisin sanoen, jos m / n on irreducible fraktio, minkä tahansa luonnollisen luvun k osalta astetta korvataan arvolla.

Jopa n: lle ja positiiviselle m: lle lausekkeella on järkeä jokaiselle ei-negatiiviselle a: lle (negatiivinen luku ei ole järkevää), negatiiviselle m: lle myös a: n täytyy olla ei-nolla (muuten jakaa nolla). Parittomalle n ja positiiviselle m: lle numero a voi olla mikä tahansa (pariton asteen juureen määritetään mikä tahansa reaaliluku) ja negatiiviselle m: lle numero a on ei-nolla (niin että ei ole jakoa nollaan).

Edellä esitetty perustelu johtaa meidät sellaiseen tutkinnon määrittelyyn, jossa on jakeellinen eksponentti.

Olkoon m / n unreducible fraktio, m on kokonaisluku ja n on positiivinen kokonaisluku. Vähennettävän fraktion osalta astetta korvataan arvolla. A: n astetta, jolla on vähennettävä murto-eksponentti m / n, käytetään

• mikä tahansa reaaliluku a, positiivinen kokonaisluku m ja pariton positiivinen kokonaisluku n, esimerkiksi;
• mikä tahansa ei-nolla reaaliluku a, koko negatiivinen m ja pariton n, esimerkiksi;
• mikä tahansa ei-negatiivinen luku a, kokonaisluku positiivinen m ja jopa n, esimerkiksi;
• mikä tahansa positiivinen a, kokonaisluku negatiivinen m ja jopa n, esimerkiksi;
• muissa tapauksissa astetta, jossa on jakeellinen eksponentti, ei ole määritelty, esimerkiksi astetta ei ole määritelty.

Selitämme, miksi aste, joka on peruutettavissa olevan jake- van eksponentin kanssa, korvataan alustavasti eksponentilla, jolla on irreducoitava eksponentti. Jos me määrittelemme vain asteen ja emme ole varaaneet fraktion m / n vähennyskelvottomuutta, olisimme joutuneet tilanteisiin, kuten seuraavat: koska 6/10 = 3/5, tasa-arvon pitää olla, mutta a.

Huomaa, että ensimmäisen asteen määritelmä, jolla on murtoindeksi, on helpompi käyttää kuin toinen. Siksi käytämme sitä tulevaisuudessa.

positiivisen luvun a, jolla on murtoindeksi m / n, määrittelemme, sillä negatiivisissa tietueissa emme kiinnitä mitään merkitystä, nollan määrä määritetään positiivisille murtoindikaattoreille m / n, koska negatiivisten murtoindikaattorien osalta nolla-astetta ei määritetä.

Tämän kohdan päätteeksi kiinnitämme huomiota siihen, että murto-eksponentti voidaan kirjoittaa desimaalifraktioina tai sekalukuina, esimerkiksi. Tämän tyyppisten lausekkeiden arvojen laskemiseksi sinun on kirjoitettava eksponentti tavallisen fraktion muodossa ja käytettävä sitten asteen määritelmää murto-eksponentilla. Esitetyt esimerkit ovat ja.

Tutkinto, jolla on irrationaalinen ja pätevä indikaattori

Tiedetään, että reaalilukujen joukkoa voidaan pitää rationaalisten ja irrationaalisten numeroiden joukkoina. Siksi voidaan katsoa, ​​että tutkinto, jolla on voimassa oleva indikaattori, määritellään, kun määritetään rationaalisen indikaattorin ja asteen, jolla on irrationaalinen indikaattori, aste. Puhuimme tutkinnosta edellisen kappaleen rationaalisella indikaattorilla, tutkinnon suorittaminen on edelleen järjetön indikaattori.

Ajatuksen asteittaista indeksointia käsitellään asteittain.

Antaa olla irrationaalisen luvun desimaalilukujen sekvenssi. Ota esimerkiksi irrationaalinen numero, niin voit hyväksyä tai, jne. On syytä huomata, että numerot ovat järkeviä.

Rationaalisten numeroiden sekvenssi vastaa asteiden sekvenssiä, ja voimme laskea näiden asteiden arvot artikkelin materiaalin perusteella, joka nostaa rationaalisen asteen. Esimerkiksi, ota a = 3, ja sitten, ja sen jälkeen, kun se on nostettu valtaan, saamme.

Lopuksi sekvenssi konvergoituu tiettyyn määrään, joka on a: n voiman arvo irrationaalisen eksponentin kanssa. Palatkaamme takaisin esimerkkimme: aste, jossa muodon irrationaalinen indikaattori on, muuttuu arvoon, joka on yhtä suuri kuin 6,27 ja jonka tarkkuus on yksi sataosa.

Positiivisen luvun a, jolla on irrationaalinen indeksi, aste on ilmaisu, jonka arvo on yhtä suuri kuin sekvenssin raja, missä ovat irrationaalisen luvun peräkkäiset desimaalit.

Nollan määrä määritetään positiivisille irrationaalisille indikaattoreille. Esimerkiksi. Ja numeron 0 astetta, jossa on negatiivinen irrationaalinen ilmaisin, ei määritetä, esimerkiksi ei ole määritelty.

Erillisesti on tarpeen sanoa yksikön irrationaalisesta asteesta - yksikön irrationaalinen aste on 1. Esimerkiksi ja.

Juuret ja asteet

aste

Tutkinto on muodon ilmaisu :, missä:

• - tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Tutkinto luonnollinen indikaattori

Määritämme sellaisen tutkinnon käsitteen, jonka indeksi on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Määritelmän mukaan :.
2. Numeron neliö on kerrottu itse:
3. Jos haluat rakentaa numeron kuutioon, sen on kerrottava se itse kolmesti :.

Numeron nostaminen luonnolliseen asteeseen tarkoittaa numeron kertomista uudestaan:

Tutkinto kokonaisluvulla

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku:

, n> 0

Korkeus nollaan:

, a ≠ 0

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku:

, a ≠ 0

Huomautus: lauseketta ei ole määritelty, jos n ≤ 0. Jos n> 0, niin

Tutkinto ja järkevä indikaattori

• a> 0;
• n on luonnollinen luku;
• m on kokonaisluku;

Asteiden ominaisuudet

juuri

Aritmeettinen neliöjuuri

Yhtälöllä on kaksi ratkaisua: x = 2 ja x = -2. Nämä ovat numeroita, joiden neliö on 4.

Harkitse yhtälöä. Piirretään kaavio funktiosta ja nähdään, että tällä yhtälöllä on myös kaksi ratkaisua, yksi positiivinen, toinen negatiivinen.

Mutta tässä tapauksessa ratkaisut eivät ole kokonaislukuja. Lisäksi ne eivät ole järkeviä. Näiden irrationaalisten päätösten kirjoittamiseksi esitellään erityinen neliöjuuri.

Aritmeettinen neliöjuuri on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on a ≥ 0. Kun a

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Tutkinnon määrittely

Osastot: Matematiikka

Opiskelija perehtyy tutkintojen ominaisuuksiin luonnollisilla indikaattoreilla ja opettaa suorittamaan asteita.

Aihe: "Tutkinto ja sen ominaisuudet" sisältää kolme kysymystä:

• Tutkinnon määrittely luonnollisella indikaattorilla.
• Tehon kertominen ja jakaminen.
• Tuotteen ja tutkinnon tason nostaminen.

Laadi määritelmä asteesta, jonka luonnollinen indeksi on suurempi kuin 1. Anna esimerkki.

Määrittele tutkinnon määritelmä indikaattorilla 1. Anna esimerkki.

Mikä on toimintojen järjestys, kun lasketaan tutkinnon sisältävän lausekkeen arvo?

Laaditaan tutkinnon perusominaisuus. Anna esimerkki.

Formuloi aste asteiden kertomiseen samalla pohjalla. Anna esimerkki.

Formuloi aste, jolla astetta jaetaan samoilla perusteilla. Anna esimerkki.

Laadi sääntö työtehtävää varten. Anna esimerkki. Todista identiteetti (ab) n = a n • b n.

Laaditaan tutkintotodistus. Anna esimerkki. Todista identiteetti (a m) n = a m n.

A: n aste, jonka luonnollinen indeksi n on suurempi kuin 1, on n-tekijöiden, joista kukin on a. A: n aste 1: llä on numero a.

Tutkimus asteen a ja indeksin n kanssa kirjoitetaan seuraavasti: a n. Lue ”a n tehoon”; ”N-voima a”.

Määritelmän mukaan aste:

Tutkintoarvon löytämistä kutsutaan eksponentioinniksi.

1. Esimerkkejä eksponentioinnista:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Kuvittele neliön numero: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Esitä kuutioina numerot:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Etsi lausekkeiden arvot:

a) 3 • 103 = 3 • 10 • 10 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Kirjoita työ asteeseen:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Läsnä neliönumerona:

3. Esitä kuutioina numerot:

4. Etsi lausekkeiden arvot:

Mikä tahansa numero a ja mielivaltainen numero m ja n:

a m a n = a m + n.

Sääntö: Kun kerrot astetta samoilla perusteilla, emäkset jätetään muuttumattomiksi, ja eksponentit lisätään yhteen.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Läsnä asteena:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Esitä tutkinto ja etsi arvo taulukossa:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Läsnä asteena:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Esitä tutkinto ja etsi arvo taulukossa:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 3 2 g) 27 • 243

Minkä tahansa numeron a ja mielivaltaisten positiivisten kokonaislukujen m ja n osalta niin, että m> n on totta:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

määritelmän mukaan yksityinen:

a m: a n = a m - n.

Sääntö: Jaettaessa astetta samoilla perusteilla, pohja jätetään samaksi, ja jakajan aste vähennetään eksponentista.

Määritelmä: A-aste ei ole nolla, nolla-eksponentti on yhtä kuin:

Numeroita. Numeron aste.

On tunnettua, että useiden yhtä suurten komponenttien summa voidaan löytää kertomalla. Esimerkiksi: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Tällaisen lausekkeen sanotaan olevan yhtä suurten komponenttien summa, joka on tuotettu tuotteeksi. Ja päinvastoin, jos luemme tämän tasa-arvon oikealta vasemmalle, saamme, että olemme laajentaneet samanarvoisten ehtojen summaa. Samoin voidaan koota yhteen useita samanarvoisia tekijöitä 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Toisin sanoen sen sijaan, että kerrottaisiin kuusi identtistä tekijää 5x5x5x5x5x5, ne kirjoittavat 5 6 ja sanovat "viisi kuudennen asteen".

Ilmaisu 5 6 on numeron teho, jossa:

5 - tutkinnon perusta;

6 - eksponentti.

Toimenpiteitä, joilla yhtäläisten tekijöiden tuote minimoidaan valtaan, kutsutaan eksponentioinniksi.

Yleensä asteen "a" ja indeksin "n" aste on kirjoitettu

Numeron a nostaminen n: n tehoon tarkoittaa n: n tekijöiden tuotteen löytämistä, joista kukin on a

Jos asteen "a" perusta on 1, niin minkä tahansa luonnollisen n asteen arvo on 1. Esimerkiksi 1 5 = 1, 1 256 = 1

Jos nostamme numeron "a" ensimmäiseen asteeseen, saadaan numero a: a 1 = a

Jos nostamme numeron nolla-asteeseen, saadaan laskelmien tuloksena yksi. a 0 = 1

Erityisesti harkita toisen ja kolmannen asteen numeroita. Heille tuli nimi: toinen aste kutsutaan numeron neliöksi, kolmas - tämän numeron kuutio.

Mikä tahansa numero voidaan nostaa tehoon - positiivinen, negatiivinen tai nolla. Se ei käytä seuraavia sääntöjä:

-positiivisen luvun määrällä saadaan positiivinen luku.

-kun lasketaan nolla luonnollisessa määrin, saamme nollaa.

- kun lasketaan negatiivinen luku, tulos voi olla sekä positiivinen että negatiivinen luku. Se riippuu siitä, onko eksponentti pariton vai pariton.

Jos ratkaisemme muutamia esimerkkejä negatiivisten lukujen määrän laskemisesta, niin käy ilmi, että jos laskemme pariton asteen negatiivisesta luvusta, niin tulos on numero miinusmerkillä. Koska kun kerrotaan pariton negatiivisten tekijöiden lukumäärä, saamme negatiivisen arvon.

Jos laskemme negatiivisen luvun negatiiviselle määrälle, tulos on positiivinen. Koska kun kerrotaan parillinen luku negatiivisia tekijöitä, saamme positiivisen arvon.

Ominaisuuksien aste luonnollinen indikaattori.

Jos haluat kertoa asteita samoilla pohjoilla, emme muuta emäksiä ja lisää asteen eksponentteja:

esimerkiksi: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Jotta astetta voidaan erottaa samoilla perusteilla, emme muuta perusta, vaan vähennämme eksponentit:

esimerkiksi: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3.6

Laskettaessa asteen eksponentiaatiota emme muuta emästä ja moninkertaistaa tutkintojen eksponentit.

esimerkiksi: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Jos on tarpeen laskea erektio tuotteen asteeseen, niin kukin tekijä nostetaan tähän asteeseen.

esimerkiksi: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Kun teemme laskelmia murto-osan rakentamisesta, nostamme murto-osan lukijaa ja nimittäjää tähän tehoon.

esimerkiksi: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Laskelmien sekvenssi, kun työskentelet lausekkeita sisältävien lausekkeiden kanssa.

Kun suoritetaan laskelmia, ilmaisuja ilman sulkeita, mutta jotka sisältävät astetta, suorittavat ensinnäkin eksponentioinnin, sitten kertomalla ja jakamalla toiminnot, ja vain sitten lisää ja vähennä toiminnot.

Jos on tarpeen laskea sulkeita sisältävä lauseke, tehdään ensin edellä määritetyssä järjestyksessä laskelmat suluissa ja sitten loput toimet samassa järjestyksessä vasemmalta oikealle.

Laskelmien yksinkertaistamiseen käytetyissä käytännön laskelmissa on käytetty laajasti valmiita asteita.

Selitä, miten löytää numeron teho

Säästä aikaa ja näe mainoksia Knowledge Plus -palvelun avulla

Säästä aikaa ja näe mainoksia Knowledge Plus -palvelun avulla

Vastaus

Vastaus on annettu

19kot

Yhdistä Knowledge Plus -palveluun saadaksesi kaikki vastaukset. Nopeasti, ilman mainoksia ja taukoja!

Älä missaa tärkeitä - liitä Knowledge Plus, jotta näet vastauksen juuri nyt.

Katsele videota saadaksesi vastauksen

Voi ei!
Vastausten näkymät ovat ohi

Yhdistä Knowledge Plus -palveluun saadaksesi kaikki vastaukset. Nopeasti, ilman mainoksia ja taukoja!

Älä missaa tärkeitä - liitä Knowledge Plus, jotta näet vastauksen juuri nyt.

Katsele videota saadaksesi vastauksen

Voi ei!
Vastausten näkymät ovat ohi

• Kommentit
• Merkitse rikkomus

Vastaus

Vastaus on annettu

Nadirka212

Kaikkein järkevin asia on hajottaa luku ensisijaisiksi tekijöiksi, niin löydät sekä pohjan että eksponentin.
Jos pohja on tiedossa, indikaattori löytyy esimerkiksi logaritmista,
2 ^ x = 8
Jos haluat löytää x: n, sinun täytyy laskea molemmat osat alustasta 2
x = kirjaudu pohjaan 2 alkaen 8 = ln 8 / ln 2 (tämä voidaan laskea laskimesta) = 3
Jos indikaattori on tiedossa, pohja löytyy esimerkiksi poistamalla juurihakemisto
x ^ 3 = 8
poista kuutiojuuri molemmista osista
x = kuutiojuuri 8 = 2

Jos kumpikaan ei tunne yhtä tai muuta, hajota luku prime-tekijöiksi, tämä tehdään jakamalla numero peräkkäin tärkeimpiin tekijöihin
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 ei ole jaettavissa 2: lla, 3: lla, 5: llä (peräkkäin iteroidaan alkulukujen yli)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Tämän vuoksi me jakoimme kahdeksan kertaa kahdeksan kertaa ja 7 kertaa neljä kertaa
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Jos haluamme löytää esityksen muodossa a ^ b luonnollisella a: lla ja b: llä ja b: llä on oltava suurin, niin b: nä on otettava hajotuksessa saatujen asteiden GCD-arvo prime-tekijöiksi eli tässä tapauksessa b = GCD (8.4) = 4
asteen a aste on 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Alkuperäinen taso.

Tutkinto on muodon ilmaisu :, missä:

Tutkinto kokonaisluvulla

jonka aste on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Tutkinto ja järkevä indikaattori

jonka aste on negatiivinen ja murto-osuus.

Tutkinto, jossa on irrationaalinen eksponentti

aste, jonka eksponentti on ääretön desimaaliosa tai juur.

Asteiden ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku tasaiselle teholle on positiivinen luku.
• Negatiivinen luku, joka on nostettu parittaiselle teholle, on negatiivinen luku.
• Positiivinen numero missä määrin on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa.
• Mikä tahansa numero on nolla.

Mikä on numeron voima?

Poistaminen on sama matemaattinen toiminta kuin lisäyksellä, vähennyksellä, kertomisella tai jaolla.

Nyt selitän kaikkea ihmiskielellä hyvin yksinkertaisten esimerkkien avulla. Ole tarkkaavainen. Esimerkkejä ovat perusasiat, mutta ne selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksestä.

Tässä ei ole mitään selitystä. Tiedät jo kaiken: meillä on kahdeksan. Jokaisella on kaksi pulloa kolaa. Kuinka paljon kola on? Oikea - 16 pulloa.

Nyt kerro.

Sama esimerkki Koksin kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla :. Matemaatikot ovat ovela ja laiska ihmisiä. He huomaavat ensin joitakin kuvioita, ja sitten keksivät keinon laskea ne nopeasti. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä pulloa colaa ja että hän sai laitteen, jota kutsutaan kertomiseksi. Myönnä, että sitä pidetään helpommana ja nopeammin kuin.

Tässä on kertotaulukko. Toista.
Niinpä, jos haluat laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun tarvitsee vain muistaa kertotaulukko. Voit tietysti tehdä kaiken hitaammin, vaikeammaksi ja virheellisemmäksi! Mutta...

Tässä on kertotaulukko. Toista.

Ja toinen, kauniimpi:

Mitkä muut tilin älykkäät temput keksivät laiskat matemaatikot? Oikeasti - numeron käyttöönotto tutkinnossa.

Numeron nostaminen tehoon.

Jos sinun on kerrottava numero itse viisi kertaa, niin matemaatikot sanovat, että sinun täytyy rakentaa tämä numero viidennelle asteelle. Esimerkiksi. Matemaatikot muistavat, että kaksi viidennen asteen on tämä. Ja ratkaise tällaiset palapelit mielessä - nopeampi, helpompi ja ilman virheitä.

Voit tehdä tämän vain muistamalla mitä on korostettu väreissä numerotasojen taulukossa. Uskokaa minua, tämä tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toinen aste kutsutaan numeron neliöksi ja kolmas - kuutio? Mitä tämä tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on neliöt ja kuutiot.

Esimerkki №1: n elämästä.

Aloitetaan neliön tai toisen asteen numerolla.

Kuvittele neliöaltaan mittausmetriä metreittäin. Allas on dakassa. Lämpö ja todella haluavat uida. Mutta... allas ilman pohjaa! On välttämätöntä asettaa altaaseen laatat. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan alue.

Voit yksinkertaisesti laskea sormella, että altaan pohja koostuu metrin kuutiometreistä. Jos sinulla on laatta-mittari mittarilla, tarvitset paloja. Se on helppoa... Mutta missä näet tällaisen laatan? Laatan on todennäköisempää nähdä cm. Ja sitten "sormi" vaivaa sinua. Sitten sinun täytyy kertoa. Joten, altaan pohjan toisella puolella, sovitamme laatat (kappaleet) ja toisaalta myös laatat. Kerrotaan, saat laatat ().

Huomasitko, että altaan pohjan määrittämiseksi kerroimme saman numeron itse? Mitä tämä tarkoittaa? Kun sama numero on moninkertaistunut, voimme käyttää "eksponentointitekniikkaa". (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi numeroa, moninkertaistat ne tai nostat ne valtaan. Mutta jos sinulla on paljon niitä, niin niiden nostaminen valtaan on paljon yksinkertaisempi ja laskentavirheet ovat myös pienempiä. Unified State Examille tämä on erittäin tärkeää).
Joten kolmekymmentä toista astetta on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä on. Toisin sanoen numeron toinen aste voidaan aina esittää neliönä. Toisaalta, jos näet neliön, se on aina tietyn numeron toinen teho. Neliö on numeron toinen aste.

Esimerkki №2: n elämästä.

Tässä on tehtävä sinulle, lasketaan kuinka monta ruutua shakkilaudalla numeron neliön avulla. Solujen toisella puolella ja toisella puolella. Voit laskea niiden lukumäärän kahdeksalla kahdeksalla tai... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit rakentaa kahdeksan neliöön. Hanki solu. () Joten?

Esimerkki 3: n elämästä.

Nyt kuutio tai numeron kolmas voima. Sama allas. Mutta nyt sinun on tiedettävä, kuinka paljon vettä sinun täytyy kaataa tähän altaan. Tilavuus on laskettava. (Muuten mitat ja nesteet mitataan kuutiometreinä. Odottamattomasti, eikö?) Piirrä allas: pohja on yhden metrin kokoinen ja yksi metri syvä ja yritä laskea, kuinka monta kuutiota metriä kohti mittari siirtyy altaaseen.

Kohdista vain sormi ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä... kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme... Kuinka paljon se tapahtui? Ei ole Onko sormella vaikea laskea? Se on se! Ota esimerkki matemaatikoista. Ne ovat laiskoja, joten he huomasivat, että altaan tilavuuden laskemiseksi on tarpeen kertoa toisilleen sen pituus, leveys ja korkeus. Meidän tapauksessamme altaan määrä on yhtä suuri kuin kuutiot... Onko se helpompaa, eikö?

Ja nyt kuvittele, kuinka matemaatikot ovat laiskoja ja ovelaita, jos he yksinkertaistavat sitä. Tuonut kaiken yhteen toimintaan. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama määrä kerrotaan itsestään... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten, mitä olet kerran laskenut sormeksi, he tekevät yhdessä toiminnassa: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu tällä tavalla :.

On vain muistaa astetta taulukko. Jos olet tietenkin yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, lopulta vakuuttamaan sinut siitä, että tutkijat ovat keksineet tutkinnot ja petturit elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä vain ongelmien luomiseksi, tässä on pari muuta esimerkkiä elämästä.

Esimerkki №4: n elämästä.

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset miljoonasta toisesta miljoonasta. Toisin sanoen jokainen miljoonasi on kunkin vuoden alussa kaksinkertaistunut. Kuinka paljon rahaa sinulla on vuosina? Jos istut ja "lasket sormen", olet hyvin ahkera ihminen ja... tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten, ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi... toisessa vuodessa - mitä tapahtui, vielä kahdella, kolmannen vuoden aikana... Stop! Huomasit, että numero kerrotaan kerran. Joten kaksi viidennen asteen - miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu, ja ne, jotka saavat miljoonan, laskevat nopeammin... On syytä muistaa numeron asteet, miten luulet?

Esimerkki elämästä 5.

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi miljoonaa enemmän. Vau, todella? Joka miljoona kolminkertaistuu. Kuinka paljon rahaa sinulla on vuodessa? Katsotaanpa. Ensimmäinen vuosi on kerrottava, sitten tulos on vielä... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kertaa se moninkertaistaa itsensä. Niinpä neljäs aste on miljoona. Sinun täytyy vain muistaa, että kolme - neljäs aste on tai.

Nyt tiedätte, että voiman lisäämisen avulla voit helpottaa suuresti elämääsi. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä asteilla ja mitä sinun tarvitsee tietää niistä.

Ehdot ja käsitteet.

Joten aloitetaan määrittelemällä käsitteet. Mitä mieltä olet eksponentista? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on numeron yläosassa. Ei tieteellinen, mutta ymmärrettävä ja helppo muistaa...

Joten samaan aikaan, mikä on tutkinnon perusta? Jopa yksinkertaisempi on alareunassa oleva numero.

Tässä on kuva lojaalisuudestasi.

Yleisesti ottaen tiivistää ja muistaa paremmin... Perusta " ja indikaattorin " tutkinto luetaan "tutkintoon" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Miksi sanoa "luonnollisen indikaattorin numeroiden aste"?

"Luonnollisen ilmaisimen numeroiden aste"

Olet luultavasti jo arvannut: koska eksponentti on luonnollinen numero. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen numero? Elementary! Luonnolliset numerot ovat niitä, joita käytetään tilissä luetteloitaessa kohteita: yksi, kaksi, kolme... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano: "kolmasosa" tai "nolla, viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia numeroita. Ja mitkä ovat nämä luvut, kun luulet?

Numerot kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuihin. Yleensä kokonaislukumäärät sisältävät kaikki luonnolliset numerot, luonnollisille numeroille vastakkaiset numerot (eli otettu miinusmerkillä) ja numero. Zero on helppo ymmärtää - tämä ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset numerot tarkoittavat? Mutta heidät keksittiin ennen kaikkea velkojen määrittelemiseksi: jos sinulla on tasapaino puhelimessa ruplaan, tämä tarkoittaa sitä, että olet velkaa operaattorin ruplille.

Mahdolliset murto-osat ovat järkeviä numeroita. Miten he tulivat, mitä luulet? Erittäin yksinkertainen. Tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ole luonnollisia numeroita pituuden, painon, alueen jne. Mittaamiseen. Ja he tulivat rationaalisiin numeroihin... Mielenkiintoisia, eikö?

On vielä irrationaalisia numeroita. Mitkä ovat nämä numerot? Lyhyesti, ääretön desimaali. Jos esimerkiksi kehä jaetaan sen halkaisijalla, saadaan irrationaalinen luku.

Yhteenveto:

• Luonnolliset numerot ovat numeroita, joita käytetään laskettaessa, ts.
• Integer - kaikki luonnolliset numerot, luonnolliset numerot miinus ja numero 0.
• Murtolukuja pidetään järkevinä.
• Irrationaaliset numerot ovat ääretön desimaali

Tutkinto luonnollinen indikaattori

Määritellään käsite asteesta, jonka indeksi on luonnollinen luku (eli koko ja positiivinen).

1. Minkä tahansa ensimmäisen asteen numero on sama:
2. Numeron neliö on kerrottu itse:
3. Jos haluat rakentaa numeron kuutioon, sen on kerrottava se kolmesti:

Määritelmä. Numeron nostaminen luonnolliseen asteeseen tarkoittaa numeron kertomista uudestaan:
.

Lukumäärä: määritelmät, nimitys, esimerkit

Tämän materiaalin puitteissa analysoimme, mikä määrä numeroa on. Perusmääritelmien lisäksi muotoilemme, mikä on luonnollinen, kokonaisvaltainen, järkevä ja irrationaalinen indikaattori. Kuten aina, kaikki käsitteet kuvataan esimerkkeinä tehtävistä.

Luonnollisten eksponenttien tutkinnot: neliön ja numeron kuution käsite

Ensinnäkin laadimme luonnollisen indeksin omaavan tutkinnon perusmäärittelyn. Tätä varten on muistettava kertomuksen perussäännöt. Selvittäkäämme etukäteen, että emäksenä olemme tällä hetkellä reaaliluku (merkitty kirjaimella a) ja indikaattorina luonnollinen numero (merkitty kirjaimella n).

A: n aste, jolla on luonnollinen indeksi n, on n-luvun tekijöiden lukumäärä, joista kukin on yhtä suuri kuin luku a. Tutkinto on kirjoitettu näin: a n ja kaavan muodossa sen kokoonpano voidaan esittää seuraavasti:

Esimerkiksi jos eksponentti on 1 ja perusta on a, niin a: n ensimmäinen teho kirjoitetaan 1: ksi. Ottaen huomioon, että a on kertoimen arvo ja 1 on kertojien lukumäärä, voidaan päätellä, että a 1 = a.

Yleisesti voidaan sanoa, että tutkinto on kätevä muoto, jolla voidaan tallentaa suuri määrä yhtäläisiä tekijöitä. Täten tallennustyyppiä 8 · 8 · 8 8 voidaan pienentää arvoon 8 4. Noin sama työ auttaa meitä välttämään monien termien kirjoittamista (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Olemme jo analysoineet sen luonnollisten lukujen kertomiseen tarkoitetussa artikkelissa.

Miten tutkia tutkintoa? Yleisesti hyväksytty vaihtoehto on “a n: n tehoon”. Tai voit sanoa "n-asteen a" tai "n: n asteen." Jos, esimerkiksi, esimerkissä, jonka olemme saavuttaneet ennätyksen 8 12, voimme lukea "8 asteen asteen", "8 asteen 12" tai "12 asteen kahdeksanneksi".

Toisen ja kolmannen asteen numeroilla on vakiintuneet nimet: neliö ja kuutio. Jos näemme toisen asteen, esimerkiksi numeron 7 (7 2), voimme sanoa "7 neliö" tai "neliön numero 7". Samoin kolmas aste lukee näin: 5 3 on "kuutio, jonka numero on 5" tai "5 kuutiossa". On myös mahdollista käyttää vakiolauseketta ”toisessa / kolmannessa asteessa”, se ei ole virhe.

Tarkastellaan esimerkkiä luonnollisesta indikaattorista: 5 7: lle viisi on perusta, ja seitsemän - indikaattori.

Pohjan ei tarvitse olla kokonaisluku: asteen (4, 32) 9 osalta emäs on murto-osa 4, 32 ja indikaattori on yhdeksän. Kiinnitä huomiota sulkuihin: tällainen merkintä tehdään kaikille asteikoille, joiden perusteet eroavat luonnollisista numeroista.

Esimerkiksi: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Mitkä ovat suluissa? Ne auttavat välttämään virheitä laskelmissa. Oletetaan, että meillä on kaksi merkintää: (- 2) 3 ja - 2 3. Ensimmäinen näistä tarkoittaa negatiivista lukua miinus kaksi, joka on nostettu tehoon, jonka luonnollinen indeksi on kolme; toinen on asteen 2 3 vastakkaista arvoa vastaava luku.

Joskus kirjoissa voi olla hieman erilainen oikeinkirjoitus numeron tehosta - a ^ n (jossa a on perusta ja n on indikaattori). Toisin sanoen 4 ^ 9 on sama kuin 4 9. Jos n on moniarvoinen numero, se otetaan suluissa. Esimerkiksi 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Mutta käytämme merkintää n yleisempänä.

Miten luonnollisen indeksin tutkinnon arvo lasketaan, sen määritelmästä on helppo arvata: sinun tarvitsee vain kertoa n kertaa useita kertoja. Lisätietoja tästä, kirjoitimme toisessa artikkelissa.

Tutkinnon käsite on vastakohta toiselle matemaattiselle käsitteelle - numeron juurelle. Jos tiedämme asteen arvon ja eksponentin, voimme laskea sen perustan. Tutkinnolla on joitakin erityisiä ominaisuuksia, jotka ovat hyödyllisiä ongelmien ratkaisemiseksi, jotka olemme purkaneet erillisessä materiaalissa.

Mikä on tutkinto koko indikaattorilla

Asteiden mukaan ei voi olla vain luonnollisia lukuja, vaan yleensä kokonaislukuarvoja, mukaan lukien negatiiviset ja nollat, koska ne kuuluvat myös kokonaislukujen joukkoon.

Positiivisen kokonaisluvun numeron aste voidaan näyttää kaavana :.

Lisäksi n on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku.

Ymmärrämme nollatason käsitteen. Tätä varten käytämme lähestymistapaa, jossa otetaan huomioon tiettyjen voimavarojen omaisuus tasapuolisin perustein. Se on muotoiltu seuraavasti:

Tasa-arvo a m: a n = a m - n on totta olosuhteissa: m ja n ovat luonnollisia lukuja, m n, a ≠ 0.

Jälkimmäinen edellytys on tärkeä, koska se välttää jakamisen nollaan. Jos m: n ja n: n arvot ovat yhtä suuret, saadaan seuraava tulos: a n: a n = a n - n = a 0

Mutta samaan aikaan, a n: a n = 1 on yhtälöiden lukumäärä a n ja a. Osoittautuu, että minkä tahansa ei-nolla-numeron nolla-teho on yksi.

Tämä todistus ei kuitenkaan koske nollasta nollaan astetta. Tätä varten tarvitsemme toisen asteen ominaisuuden, joka on aste, jolla on yhtäläiset perusteet. Näyttää siltä: a m · a n = a m + n.

Jos n on 0, niin a m · a 0 = a m (tämä tasa-arvo osoittaa myös meille, että 0 = 1). Mutta jos ja on myös nolla, tasa-arvo on 0 m · 0 0 = 0 m, se on totta minkä tahansa n: n luonnollisen arvon suhteen, ja ei ole väliä, missä asteen arvo on 0, eli se voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa numero ja se ei vaikuta tasa-arvon uskollisuuteen. Siksi lomakkeen 0 0 tietueella ei ole omaa erityistä merkitystä, emmekä sido sitä siihen.

Haluttaessa on helppo varmistaa, että a 0 = 1 konvergoituu asteen (a m) n = a m · n ominaisuuden kanssa edellyttäen, että asteen perusta ei ole nolla. Siten minkä tahansa ei-nolla-luvun määrä, jossa on nolla-eksponentti, on yksi.

Tarkastellaan esimerkkiä konkreettisilla numeroilla: Joten, 5 0 on yksikkö, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, eikä arvoa 0 0 ole määritelty.

Nollatason jälkeen meidän on selvitettävä, mikä aste on negatiivinen. Tätä varten tarvitsemme saman asteen ominaisuuden, jolla on sama taso, jota olemme jo käyttäneet edellä: a m · a n = a m + n.

Esitämme ehto: m = - n, sitten a ei saa olla nolla. Tästä seuraa, että a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Osoittautuu, että n ja a - n ovat keskenään käänteisiä numeroita.

Tämän seurauksena a on negatiivinen aste kokonaisuudessaan kuin fraktio 1 a n.

Tällainen muotoilu vahvistaa, että koko negatiivisen indeksin tutkinnassa kaikki samat ominaisuudet kuin luonnollinen indeksi (edellyttäen että emäs ei ole nolla) ovat päteviä.

A: n aste negatiivisella kokonaisluvulla n voidaan esittää murto-osana 1 a n. Näin ollen a - n = 1 a n ehdolla a ≠ 0 ja n on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku.

Kuvittelemme ajatuksiamme konkreettisin esimerkkein:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Kohdan viimeisessä osassa pyrimme kuvaamaan kaikkea, mitä selvästi sanottiin yhdellä kaavalla:

A: n aste luonnollisella indeksillä z on: az = az, e, jossa l ja z on kokonaisluku a l ja z on 0 ja z = 0 ja a ≠ 0, (p p ja z = 0 ja a = 0 p o o o o e e 0 0, eli v o r a c io 0 0 n e O s e i o i i i) 1 az, e s c ja z on a r a c a t a l a n e o h a s a l o a ≠ 0 ( e sl ja z - on sarjan kokonaisluku ja a = 0 loputtomasti i 0 z, ego noin N o o o o o o s e d e i s i)

Mikä on järkevä eksponentti?

Olemme käsitelleet tapauksia, joissa eksponentissa on kokonaisluku. On kuitenkin mahdollista nostaa numero tehoon, vaikka murto-osuus on sen indeksissä. Tätä kutsutaan järkeväksi eksponentiksi. Tässä vaiheessa osoitamme, että sillä on samat ominaisuudet kuin muilla asteilla.

Mitkä ovat järkeviä numeroita? Niiden joukko sisältää sekä kokonaisia ​​että murto-osuuksia, kun taas murto-osuudet voidaan esittää tavallisina jakeina (sekä positiiviset että negatiiviset). Muodostamme a-asteen määrittelyn, jossa on jakeellinen eksponentti m / n, jossa n on positiivinen kokonaisluku ja m on kokonaisluku.

Meillä on jonkin verran murto-eksponenttia a m n. Jotta asteen ominaisuus pysyisi vakaana, tasa-arvon a m n n = a m n · n = a m on oltava totta.

Kun otetaan huomioon n: n asteen juuren määritelmä ja että a m n n = a m, voimme hyväksyä tilan a m n = a m n jos a m n on järkevää annetuissa arvoissa m, n ja a.

Edellä mainitut asteen ominaisuudet kokonaisluvulla ovat totta olosuhteissa a m n = a m n.

Perustelumme tärkein johtopäätös on seuraava: tietyn luvun a asteikkoinen eksponentti m / n on n: n asteen juurenumero numerosta a asteeseen m. Tämä on totta, jos tietyille m, n ja a arvoille lauseke a m n säilyttää merkityksensä.

Seuraavaksi meidän on määritettävä, millaisia ​​rajoituksia muuttujien arvoille asettaa tällainen ehto. Ongelman ratkaisemiseksi on kaksi lähestymistapaa.

1. Voimme rajoittaa asteen pohjan arvoa: otamme a, joka m: n positiivisille arvoille on suurempi tai yhtä suuri kuin 0, ja negatiivisille arvoille, tiukasti vähemmän (koska m ≤ 0 saamme 0 m, ja tämä aste ei ole määritelty). Tällöin asteen määrittäminen murtoindeksillä on seuraava:

Tutkinto, jolla on murto-eksponentti m / n joidenkin positiivisten lukujen a osalta, on n: n njuuri, joka on nostettu m: n tehoon. Kaavion muodossa tämä voidaan esittää seuraavasti:

Nolla-asteen omaava tutkinto on myös sopiva, mutta vain, jos sen indeksi on positiivinen luku.

Aste, jolla on nolla, ja murto-positiivinen m / n voidaan ilmaista

0 m n = 0 m n = 0 koko positiivisen m: n ja luonnollisen n.

Negatiivisella suhteella m n 0 astetta ei määritetä, ts. tällainen ennätys ei ole järkevää.

Huomaa yksi kohta. Koska olemme ottaneet käyttöön edellytyksen, että a on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, olemme laskeneet joitakin tapauksia.

Ilmaisu a m n on joskus edelleen järkevää joidenkin a ja joidenkin m: n negatiivisten arvojen kannalta. Niinpä merkinnät (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 ovat oikeat, joissa pohja on negatiivinen.

2. Toinen lähestymistapa on tarkastella erikseen juuren a m n tasaisilla ja parittomilla indekseillä. Sitten meidän on otettava käyttöön vielä yksi ehto: astetta a, jonka indeksi on pienempi, pidetään a: n asteena, jonka indeksi on vastaava irreviboituva fraktio, joka vastaa sitä. Myöhemmin selitämme, miksi tämä ehto on meille ja miksi se on niin tärkeää. Jos siis meillä on ennätys a m k k · k, niin voimme vähentää sen arvoon m ja yksinkertaistaa laskutoimituksia.

Jos n on pariton luku ja m on positiivinen, a on mikä tahansa ei-negatiivinen luku, sitten m n on järkevää. Negegatiivisen a: n ehto on välttämätön, koska tasaisen tehon juurta ei oteta negatiivisesta luvusta. Jos m: n arvo on positiivinen, niin a voi olla sekä negatiivinen että nolla parittoman asteen juurta voidaan poistaa mistä tahansa reaaliluvusta.

Yhdistä kaikki yllä olevat määritelmät yhteen tietueeseen:

Tässä m / n tarkoittaa irredukoitavaa fraktiota, m on mikä tahansa kokonaisluku, ja n on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku.

Jokaista tavallista alennettua fraktiota m · k n · k, astetta voidaan korvata m n: llä.

Numeron a määrä, jolla on vähennettävä murto-indeksi m / n, voidaan ilmaista a m n seuraavissa tapauksissa: - mistä tahansa reaalista a, positiivista kokonaislukua arvoa m ja paritonta luonnonarvoa n. Esimerkki: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- mistä tahansa ei-nero-todellisesta a, kokonaisluvun negatiivisista arvoista n ja parittaisista arvoista n, esimerkiksi 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- mihin tahansa ei-negatiiviseen a, kokonaisluvun positiiviseen arvoon m ja jopa n, esimerkiksi 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- mikä tahansa positiivinen a, kokonaisluku negatiivinen m ja jopa n, esimerkiksi 2 - 1,4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Muiden arvojen tapauksessa aste ei ole määritelty murto-eksponentilla. Esimerkkejä tällaisista tutkinnoista: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Selittäkäämme nyt edellä mainitun edellytyksen merkitys: miksi korvata vähennettyä indeksiä sisältävä fraktio murto-osalla, jolla on irreducible fraktio. Jos emme tee tätä, niin meillä olisi tällaisia ​​tilanteita, esimerkiksi 6/10 = 3/5. Sitten sen pitäisi olla totta (- 1) 6 10 = - 1 3 5, mutta - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ja (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Määritelmä asteikolla fraktiohakemistolla, jonka mainitsimme ensin, on helpompi toteuttaa käytännössä kuin toinen, joten käytämme sitä edelleen.

Täten positiivisen luvun a, jolla on murto-indeksi m / n, aste on 0 m n = 0 m n = 0. Negatiivisen a: n tapauksessa merkintä a m n ei ole järkevää. Positiivisten murtoindikaattorien m / n nolla on 0 m n = 0 m n = 0, negatiivisten osittaisten indikaattoreiden osalta emme määritä nolla-astetta.

Johtopäätöksissä huomautamme, että voimme kirjoittaa minkä tahansa murtoindeksin sekä sekamäärän muodossa että desimaalifraktioina: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Laskettaessa on parempi korvata eksponentti tavalliseen fraktioon ja käyttää sitten eksponentin määritelmää murto-eksponentilla. Saat edellä mainitut esimerkit:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mikä on tutkinto, jolla on irrationaalinen ja pätevä indikaattori

Mitkä ovat todellisia lukuja? Niiden joukko sisältää sekä rationaalisia että irrationaalisia numeroita. Siksi, jotta ymmärrämme, mikä aste on pätevä indikaattori, meidän on määriteltävä tutkinnot järkevillä ja irrationaalisilla indikaattoreilla. Tietoja rationaalisista, olemme jo maininneet edellä. Käsittelemme irrationaalisia indikaattoreita askel askeleelta.

Oletetaan, että meillä on irrationaalinen numero a ja sen desimaalilukujen sekvenssi a 0, a 1, a 2,.... Ota esimerkiksi arvo a = 1, 67175331... sitten

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a2 = 1, 671,..., 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

ja niin edelleen (kun likiarvot ovat rationaalisia lukuja).

Lähestysten sekvenssit voimme liittää asteiden a a 0, a a 1, a a 2, sekvenssin.... Jos muistamme, että kerroimme aiemmin numeroiden nostamisesta rationaaliseen asteeseen, voimme laskea näiden asteiden arvot itse.

Otetaan esimerkiksi a = 3, sitten a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a2 = 3, 671753,... ja niin edelleen

Asteiden sekvenssi voidaan pienentää numeroksi, joka on asteen c arvo a ja irrationaalinen indeksi a. Yhteenvetona: tutkinto, jolla on irrationaalinen indeksi muodossa 3 1, 67175331.. voidaan vähentää 6: een, 27: een.

Positiivisen luvun a, jolla on irrationaalinen eksponentti, aste on kirjoitettu a: ksi. Sen arvo on sekvenssin a a 0, a a 1, a a 2,... jossa a 0, a 1, a 2,... ovat irrationaalisen luvun a peräkkäisiä desimaaleja. Nollapohjainen aste voidaan määrittää myös positiivisille irrationaalisille indikaattoreille, jolloin 0 a = 0, 0 0 = 0, 0 21 3 3 = 0. Negatiivisten osalta tätä ei voida tehdä, koska esimerkiksi arvo 0 - 5, 0 - 2 π on määrittelemätön. Jokaiseen irrationaaliseen asteeseen nostettu yksikkö pysyy yksikkönä, ja 1 2, 1 5 - 2 ja 1 - 5 ovat 1.